El MAS (2)

Siguiendo con lo que comencé en la última publicación, este artículo, y los próximos, se centrarán en la resolución de la siguiente ecuación diferencial:

\displaystyle\frac{d^2x}{dx^2}=-\frac{k}{m}x

Hay muchas maneras de encarar esta resolución, la primera es a ojo, para los que saben algo de derivadas; se tiene que pensar en lo que la ecuación está pidiendo: una función tal que si se la deriva dos veces, dá la misma función, cambiada de signo. Se puede pensar en una exponencial del tipo e^{at} (con a alguna constante) pero se ve que al derivar dos veces el signo no cambia (aunque se ponga e^{-at}.)

Pensando un poco más, se llegará a las funciones trigonométricas: el seno y el coseno. Se puede ver que derivando dos veces \cos (at) se obtiene -a^2 \cos(at). Por lo que fácilmente se puede ver que a^2 = k/m.

En general a la constante a se la escribe \omega y se la llama de “frecuencia.” Es decir:

\displaystyle\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

Fácilmente (derivando) se puede llegar a que:

A\cdot\cos (\omega t+\varphi)

Es también una solución (la más general.) A se denomina amplitud del movimiento (recordando que el coseno se mueve entre 1 y -1, A indica hastá qué valor llegará la x;) y \varphi se denomina “fase”.

Alguien que pudo seguir hasta aquí, ha resuelto la más fundamental de las ecuaciones de la física; es básicamente la que se resuelve cada vez que se plantea un problema de física cuántica, de electromagnetismo, etc. Cuando pueda introducir el concepto de Serie de Taylor, se verá el por qué de la importancia.

En la próxima entrega, resolveré un poco más rigurosamente la ecuación.

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