El MAS (3): Resolviendo la ecuación diferencial

Ya sabemos entonces, que una de las soluciones para la ecuación diferencial \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=-\sqrt{\frac{k}{m}}x es A\cos(\omega t+\varphi). Ahora veremos un modo más “elegante” de deducirla.

Primero, supongamos que se agrega un término más a la ecuación, una fuerza que sea proporcional a la velocidad, pero de sentido opuesto. Este tipo de fuerza es el que típicamente se encuentra cuando se estudia el rozamiento de un fluído (aire, agua, aceite, etc.) con un cuerpo. La ecuación a resolver quedaría, entonces:

\ddot{x}=-\gamma \dot{x} - \frac{k}{m} x

\ddot{x}=-\gamma \dot{x} - \omega^2 x

Sin entrar en detalles, se puede ver que lo más práctico es proponer una solución exponencial, y estar preparados para que las soluciones sean complejas (de esta forma se recupera el coseno de la resolución anterior.) Así que proponemos una solución de la forma x(t)=Ae^{\alpha t}. Si reemplazamos en la ecuación diferencial, lo que obtenemos es:

A\alpha^2 e^{\alpha t} + \gamma A \alpha e^{\alpha t} + \omega A e^{\alpha t} = 0

En esta expresión se puede cancelar el término A e^{\alpha t} por lo que queda lo que se denomina la ecuación característica de la ecuación diferencial:

\alpha^2 + \gamma \alpha + \omega = 0

Lo que se quiere despejar es \alpha lo cual resulta muy sencillo y se obtiene:

\displaystyle \alpha = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-4\omega^2}}{2}

Es fácil ver que se pueden obtener 3 casos: cuando la raíz es un número real, cuando es 0 y cuando es un número imaginario. A estos 3 casos se los denomina: sobreamortiguado, amortiguamiento crítico y subamortiguado. En la próxima entrega estudiaremos cada uno de ellos.

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