Cuando se intentan explicar los diferentes tipos de números que existen, siempre se parte de los naturales (1, 2, 3,…) luego los enteros (…,-2, -1, 0, 1, …), los racionales (1/2, 3/4, -1/6, etc) y finalmente se llega a los Irracionales, donde uno de los primeros ejemplos que se suele dar es \sqrt{2}.

Por eso parecería justo demostrar que efectivamente ese número es irracional.

Seguramente existe una infinidad de formas diferentes de hacerlo, pero la que a mí personalmente más me gusta es la que se hace por reducción al absurdo:

Así que empezamos negando lo que queremos demostrar, supongamos que se puede escribir:

\sqrt{2}=\frac{p}{q}

En este caso podemos suponer que el máximo común divisor entre p y q es 1 (la fracción es la más simple posible) y p y q son coprimos. Si elevamos al cuadrado queda:

2=\frac{p^2}{q^2} \Rightarrow 2q^2=p

Esto es lo mismo que decir que p es múltiplo de 2, es decir que p = 2k para algún k. Si metemos esta nueva igualdad en la ecuación anterior queda:

2q^2=(2k)^2 \Rightarrow q^2=2k^2

Es decir que q^2 es múltiplo de 2 por lo tanto lo es también q. Y aquí llegamos a un absurdo, ya que habíamos supuesto que q y p eran coprimos, es decir que su máximo común divisor era 1, mientras que en las últimas expresiones encontramos que ambos son múltiplos de 2.

Entonces, la hipótesis es falsa, es decir \sqrt{2} es irracional.

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